線形代数例

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

ステップ 1

公式 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して $(a, b)$ から原点までの距離を計算します。

$r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

ステップ 2

$\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

ステップ 2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

ステップ 2.3

$3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

ステップ 2.4

$- 3$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

ステップ 2.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}$

ステップ 2.6

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}$

ステップ 2.7

$0$ に $3$ をかけます。

$r = \sqrt{9 + 0^{2}}$

ステップ 2.8

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$r = \sqrt{9 + 0}$

ステップ 2.9

$9$ と $0$ をたし算します。

$r = \sqrt{9}$

ステップ 2.10

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{3^{2}}$

ステップ 2.11

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$r = 3$

ステップ 3

参照角 $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ を計算します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

ステップ 4

$\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

共通因数を約分します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

ステップ 4.1.2

式を書き換えます。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)$

ステップ 4.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

ステップ 4.3

分母を簡約します。

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ステップ 4.3.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)$

ステップ 4.3.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)$

ステップ 4.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$\frac{0}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)$

ステップ 4.4.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

ステップ 4.5

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$θ̂ = \arctan (0)$

ステップ 4.6

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$θ̂ = 0$

ステップ 5

象限を求めます。

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ステップ 5.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)$

ステップ 5.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)$

ステップ 5.3

$3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)$

ステップ 5.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

ステップ 5.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$(- 3, \sin (0) \cdot 3)$

ステップ 5.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$(- 3, 0 \cdot 3)$

ステップ 5.6

$0$ に $3$ をかけます。

$(- 3, 0)$

ステップ 5.7

x座標が負で、y座標が $0$ なので、点は第二象限と第三象限の間のx軸上にあります。象限は右上から始まる反時計回りに名前が付けられています。

象限 $2$ と $3$ の間

ステップ 6

公式を利用して複素数の根を求めます。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

ステップ 7

$r$ 、 $n$ 、および $θ$ を公式に代入します。

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ステップ 7.1

${(3)}^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{θ + 2 π k}{3}$ をまとめます。

$c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

ステップ 7.2

$c$ と $\frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$ をまとめます。

$i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

ステップ 7.3

$i$ と $\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$ をまとめます。

$s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

ステップ 7.4

$s$ と $\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$ をまとめます。

$\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

ステップ 7.5

括弧を削除します。

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ステップ 7.5.1

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

ステップ 7.5.2

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

ステップ 7.5.3

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}$

ステップ 7.5.4

括弧を削除します。

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

ステップ 7.5.5

括弧を削除します。

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}$

ステップ 7.5.6

括弧を削除します。

$\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

ステップ 7.5.7

括弧を削除します。

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

ステップ 8

$k = 0$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 8.1

括弧を削除します。

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

ステップ 8.2

$2 π (0)$ を掛けます。

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ステップ 8.2.1

$0$ に $2$ をかけます。

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0 π}{3})$

ステップ 8.2.2

$0$ に $π$ をかけます。

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

ステップ 9

$k = 1$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 9.1

括弧を削除します。

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

ステップ 9.2

$2$ に $1$ をかけます。

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

ステップ 10

$k = 2$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 10.1

括弧を削除します。

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

ステップ 10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

ステップ 11

解をまとめます。

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

線形代数 例

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